Makalah Probabilitas

BAB I

PENDAHULUAN

1.1             Latar Belakang

Bahasan pada distribusi probabilitas adalah penyusunan distribusi frekuensi yang berdasarkan teori peluang. Oleh karena itu, disebut distribusi frekuensi teoritis atau distribusi peluang atau distribsi probabilitas.

Karena distribusi frekuensi probabilitas disusun berdasarkan teori peluang maka pengetahuan tentang distribusi teoritis menjadi sangat penting untuk membuat estimasi atau meramalkan variasi-variasi yang mungkin dapat timbul pada suatu keadaan yang tidak pasti.

Di bidang kesehatan, distribusi frekuensi teoritis dapat digunakan untuk menyusun perencanaan program pelayanan kesehatan di masa yang akan datang dan meramalkan tentang masalah kesehatan yang mungkin terjadi di masa yang akan datang.

Berdasarkan data yang diperoleh maka distribusi probabilitas dapat dibagi dalam distribusi probabilitas yang deskrit yaitu distribusi multinomial, distribusi poison, distribusi hipergeometris, dan distribusi pascal. Sedangkan distribusi probabilitas kontinu adalah distribusi normal.

1.2             Tujuan

Untuk mengetahui jenis – jenis Probabilitas dan penjelasan serta aplikasi jenis Probabilitas.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1       Distribusi probabilitas berdasarkan teori

Penyusunan distribusi ini berdasarkan teori peluang.

Contoh : jika kita ingin mengetahui probabilitas jenis kelamin bayi yang dilahirkan dua kali berturut-turut, maka terdapat 4 kemungkinan sebagai berikut:

a.    Kelahiran pertama laki-laki, kelahiran kedua laki-laki

b.    Kelahiran pertama laki-laki, kelahiran kedua perempuan

c.     Kelahiran pertama perempuan, kelahiran kedua perempuan

d.    Kelahiran pertama perempuan, kelahiran kedua laki-laki.

Distribusi peluang tersebut dapat disusun dalam bentuk tabel dan grafik frekuensi distribusi seperti berikut.

Tabel 1.1. probabilitas jenis kelamin dua kelahiran berturut-turut.

Kelahiran 1	Kelahiran 2	Jumlah kelahiran perempuan	probabilitas
Laki-laki	Laki-laki	0	0,5 x 0,5 = 0,25
Laki-laki	Perempuan	1	0,5 x 0,5 = 0,25
perempuan	Perempuan	2	0,5 x 0,5 = 0,25
perempuan	Laki-laki	1	0,5 x 0,5 = 0,25

Dari tabel diatas dapat disusun frekuensi distribusi probabilitas sebagai berikut:

FP	FL	Probabilitas
0	2	0,25
1	1	0,5
2	0	0,25

Grafik 1.1. Probabilitas jenis kelamin dua kelahiran berturut-turut.

2.2       Distribusi probabilitas berdasarkan subjektif

Distribusi probabilitas subjektif berarti penyusunan distribusi frekuensi atas dasar pertimbangan pribadi. Misalnya seorang dokter puskesma menyatakan bahwa jumlah kunjungan setiap hari senin adalah 40 orang dengan peluang sebesar 10 %, hari selasa jumlah kunjungan sebesar 45 orang dengan probabilitas 30%, hari rabu jumlah kunjungan 50 orang dengan probabilitas 50% dan pada hari kamis jumlah kunjungan sebanyak 55 orang dengan probabilitas 20%

Pernyataan dokter puskesmas tersebut dapat disusun sebagai berikut

Jumlah kunjungan                             : 40  45  50  55

Probabilitas (dalam persen)            : 10  30  50  20

Grafik 1.2. distribusi probabilitas kunjungan ke puskesmas.

2.3       Distribusi Probabilitas berdasarkan pengalaman.

            Distribusi probabilitas ini berdasarkan pengalaman pribadi atau berdasarkan catatan dimasa lampau yang digunakan untuk meramalkan keadaan dimasa yang akan datang. Misalnya seorang dokter puskesmas mempelajari dan mengadakan analisis data penyakit berdasarkan catatan medik yang lalu, kemudian atas dasar tersebut dia membuat ramalan tentang probabilitas distribusi penyakit yang akan datang.

Misalnya pada tahun 2000 jumlah penderita muntaber sebanyak 1000 orang dengan probabilitas 0,6, penyakit kulit 700 orang dengan probabilitas 0,2 dan penderita penyakit mata sebanyak 800 orang dengan probabilitas 0,2.

Data diatas dapat disusun dalam tabel sebagai berikut

Tabel 1.3. distribusi frekuensi jenis penyakit

Jenis penyakit	Jumlah	Probabilitas
Muntaber	1000	0,6
Penyakit kulit	700	0,2
Penyakit mata	800	0,2
jumlah	2500	1

Data dalam tabel diatas dapat disajikan dalam bentuk grafik sebagai berikut.

2.4       Distribusi Probabilitas Diskrit

Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas dari variabel random diskrit, jika

Rata-rata dan varians dari variabel random diskrit X

2.5       Distribusi Probabilitas Kontinu

Fungsi f(x) adalah fungsi kepadatan (density) probabilitas untuk variabel kontinu X, jika

Rata-rata dan varians dari variabel random kontinu X

2.6       Beberapa Distribusi Probabilitas Diskrit

2.6.1    Distribusi Binomial

Ciri-ciri percobaan binomial :

a.        Percobaan terdiri dari n ulangan

b.        Setiap hasil ulangan dapat digolongkan sebagai sukses (S) atau gagal (G)

c.         Probabilitas sukses (p) untuk setiap ulangan adalah sama

d.        Setiap ulangan harus bersifat independen.

Definisi 4 :

Suatu percobaan dengan n ulangan mempunyai probabilitas sukses p dan gagal q = 1-p. Jika  variabel random X menyatakan banyaknya sukses dalam n ulangan yang bebas, maka X berdistribusi Binomial dengan distribusi probabilitas:

 

Nilai harapan (rata-rata) dan varians dari variabel random yang berdistribusi Binomial 

               m       = np

              s²      = npq

2.6.2    Distribusi Hipergeometrik

Ciri-ciri percobaan Hipergeometrik :

1.        Sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N

2.        Dari populasi berukuran N benda, sebanyak k benda diberi label “sukses”, dan N-k benda diberi label “gagal”.

Definisi 5 :

Dalam populasi N benda, k benda diantaranya diberi label “sukses” dan N-k benda lainnya diberi label “gagal”. Jika variabel random X menyatakan banyaknya sukses dalam sampel acak berukuran n, maka X berdistribusi hipergeometrik dengan distribusi probabilitas

Nilai harapan dan varians dari variabel random yang berdistribusi Hipergeometrik adalah

Bila n relatif kecil dibandingkan dengan N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri dengan distribusi binomial

            h (x; N, n, k) ® b (x; n, p)

2.6.3    Distribusi Poisson

Ciri-ciri percobaan Poisson :

1.                  Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu tertentu, tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu lain yang terpisah.

2.                  Probabilitas terjadinya suatu hasil percobaan selama selang waktu yang singkat, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut, dan tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu tersebut.

3.                  Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat, dapat diabaikan.

Definisi 6 :

Jika variabel random  X menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam selang waktu tertentu, dan m adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan dalam selang waktu tersebut, maka X berdistribusi Poisson dengan distribusi probabilitas

           

Nilai harapan dan varians dari ariable random yang berdistribusi Poisson keduanya sama dengan m.

Misalkan X ~ b(x; n,p), bila n ® ¥, p ® 0, maka

             b(x; n,p) ®  p(x; m)

dengan m = np.

2.7       Distribusi Probabilitas Kontinu

2.7.1    Distribusi Normal

            Definisi 7 :

Variabel random X berdistribusi normal dengan rata-rata m dan varians s² jika mempunyai fungsi densitas

            f(x) =

a.         Sifat-sifat kurva normal :

b.        Modus terjadi pada x = m

c.         Kurva simetris terhadap x = m

d.        Kedua ujung kurva secara asimtotik mendekati sumbu datar x, bila nilai x bergerak menjauhi m.

e.         Seluruh luas dibawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1.

Gambar 1 : Kurva Normal

Misalkan ingin dihitung P (x₁ < X < x₂) dari variabel random X yang berdistribusi normal, maka berdasar kurva di atas P (x₁ < X < x₂) = luas daerah yang diarsir.

Untuk menghitung P(x₁ < X < x₂)   sulit diselesaikan. Namun dapat diatasi dengan mentransformasi variabel random normal X menjadi variabel random Z

             .

Distribusi variabel random Z disebut dengan Distribusi Normal Standart, dengan fungsi densitas

           

dengan           m = 0 dan s² =1.

BAB III

PENUTUP

3.1       Kesimpulan

            Jenis Probabilitas :

            3.1.1   Distribusi probabilitas berdasarkan subjektif berarti penyusunan distribusi frekuensi atas dasar pertimbangan pribadi.

            3.1.2   Distribusi Probabilitas berdasarkan pengalaman pribadi atau berdasarkan catatan dimasa lampau yang digunakan untuk meramalkan keadaan dimasa yang akan datang.

            3.1.3   Distribusi Probabilitas Diskrit

3.1.4   Distribusi Probabilitas Kontinu

            3.1.5   Beberapa Distribusi Probabilitas Diskrit

2.1.6    Distribusi Binomial

2.1.7    Distribusi Hipergeometrik

2.1.7    Distribusi Probabilitas Kontinu

2.1.8    Distribusi Normal

3.2       Saran

Dengan makalah ini diharapkan pembaca khususnya mahasiswa keperawatan dapat mengerti dan memahami serta menambah wawasan tentang Distribusi Probabilitas.